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By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

ISBN-10: 3662470764

ISBN-13: 9783662470763

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, used to be sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra?

Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik:

  • Grundlagen
  • Zahlen
  • Zahlentheorie
  • Diskrete Mathematik
  • Lineare Algebra
  • Algebra
  • Elementare Analysis
  • Höhere research
  • Topologie und Geometrie
  • Numerik
  • Stochastik
  • Mengenlehre und Logik
  • Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen.

    Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein.

    Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Literaturangaben ergänzt.

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    Für jedes a 2 A heißt a= D fb 2 A j a bg Œgelesen: a modulo  20 1 die zu a gehörige Äquivalenzklasse bezüglich sentant der Klasse. Weiter setzen wir A= D fa= j a 2 Ag . Jedes b 2 a= Œgelesen: A modulo Grundlagen heißt ein Reprä: Das Mengensystem A= heißt auch die Faktorisierung von A bezüglich . Eine Menge S  A heißt ein vollständiges Repräsentantensystem bzgl. , falls die Elemente von S paarweise nicht äquivalent sind und zudem fa= j a 2 Sg D A= gilt. Ein auf den ersten Blick ganz anderer, aber letztendlich gleichwertiger Zugang zum Begriff der Äquivalenzrelation basiert auf Zerlegungen einer Menge.

    Dass das in der Tat unmöglich ist, kann man heute mit ein wenig linearer Algebra leicht einsehen. u; v/ 7! uv mit einem Einselement e, könnte man die lineare Abbildung Lu W v 7! uv betrachten; die Linearität ergibt sich aus dem Distributivgesetz, das man von einer „vernünftigen“ Multiplikation auf dem Vektorraum R3 verlangen sollte. Nun hat jede lineare Abbildung auf R3 einen Eigenwert (Abschn. v/ D v, d. h. u e/v D 0, woraus wegen der Nullteilerfreiheit u D e folgt: Ein beliebiges Element u von R3 wäre ein Vielfaches von e, was ein Widerspruch ist.

    F g gilt. n2 / gilt. 12 Strukturen und strukturerhaltende Abbildungen Mengen werden in der Mathematik selten nackt verwendet. Eine Menge M erhält Struktur, indem wir eine Reihe von Operationen, Relationen und Konstanten auf M einführen und studieren. So statten wir die natürlichen Zahlen N mit einer Addition und Multiplikation aus, mit einer linearen Ordnung <, und wir betrachten oftmals die speziellen Zahlen 0 und 1. N; C; ; <; 0; 1/ auf dem „Universum“, „Träger“ oder „Bereich“ N. Im Laufe der Untersuchung der natürlichen Zahlen reichern wir diesen Ausgangspunkt an durch neue Funktionen wie die Exponentiation oder die Fakultät, und durch neue Relationen wie „a ist durch b teilbar“ oder auch einstellige Relationen wie „p ist eine Primzahl“.

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